钦定古今图书集成经济汇编乐律典

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乐律典第六十四卷

律吕部汇考十八

明·朱载堉《律吕精义四》新旧法参校第六
古人算律有四种法，其一，以黄钟为十寸，每寸十分，共计百分。其二，以黄钟为九寸，每寸十分，共计九十分。其三，以黄钟为八寸一分，不作九寸。其四，以黄钟为九寸，每寸九分，共计八十一分。
其一，出太史公《律书·生钟分》。
谨按《生钟分》者，三分损益之旧法也。一切算术皆取法于《河图》、《雒书》。《河图》，十位天地之体数也。《雒书》，九位天地之用数也。是故算律之术，或有约十而为九者，著其用也。或有约九而为十者，存其体也。下文约十为九，此章约九为十。先儒盖未达，误以九解之，恐非古人立法初意。若以十解之，尤简易妙绝。

子一分，
子即黄钟也。一分者，总为一段也。即是夏尺之一尺也。命黄钟为一尺，故曰一分。《前汉书》叙传曰：元元本本，数始于一。产气黄钟，造计秒忽。《律历志》曰：太极元气，函三为一，行于十二辰，始动于子。又曰：算法，用竹径一分，象黄钟之一。此皆古人命黄钟为一尺之明證也。

丑三分二，
丑指林钟，其长乃一尺，中三分之二。算法，置一尺为实，以二乘之，以三除之，得林钟正律长六寸六分六釐六毫六丝六忽六微六纤。

寅九分八，
寅即太蔟，其长乃一尺，中九分之八。算法，置一尺为实，以八乘之，以九除之，得太蔟正律长八寸八分八釐八毫八丝八忽八微八纤。下文放此，故不细解。

卯二十七分一十六，
卯指南吕，依法乘除，得南吕正律长五寸九分二釐五毫九丝二忽五微九纤。

辰八十一分六十四，
辰即姑洗，依法乘除，得姑洗正律长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纤。

巳二百四十三分一百二十八，
巳指应钟，依法乘除，得应钟正律长五寸二分六釐七毫四丝八忽九微七纤。

午七百二十九分五百一十二，
午即蕤宾，依法乘除，得蕤宾正律长七寸○二釐三毫三丝一忽九微六纤。

未二千一百八十七分一千○二十四，
未指大吕，依法乘除，得大吕半律长四寸六分八釐二毫二丝一忽三微○。求正律，则倍之。

申六千五百六十一分四千○九十六，
申即夷则，依法乘除，得夷则正律长六寸二分四釐二毫九丝五忽○七纤。

酉一万九千六百八十三分八千一百九十二，
酉指夹钟，依法乘除，得夹钟半律长四寸一分六釐一毫九丝六忽七微一纤。求正律，则倍之。

戌五万九千○四十九分三万二千七百六十八，
戌即无射，依法乘除，得无射正律长五寸五分四釐九毫二丝八忽九微五纤。

亥一十七万七千一百四十七分六万五千五百三十六。
亥指仲吕，依法乘除，得仲吕半律长三寸六分九釐九毫五丝二忽六微三纤。求正律，则倍之。阳律，即本位，故曰即某。阴吕指其冲，故曰指某。未、酉、亥三位所得，加一倍，是皆旧说而学者须知也。臣按：此法，历代律家，盖多错解。先臣何瑭始发明之，古人四法中，宜以此为首。元元本本，数始于一故也。

其一上文已见，兹不复载。但载乘除所得之数，谓之旧法，与新法并载之，参校同异云尔。
旧法，黄钟长十寸，
整一百分，

林钟长六寸六分六釐六毫〈有奇〉
太簇长八寸八分八釐八毫〈有奇〉
南吕长五寸九分二釐五毫〈有奇〉姑洗长七寸九分○一毫〈有奇〉
应钟长五寸二分六釐七毫〈有奇〉
蕤宾长七寸○二釐三毫〈有奇〉
大吕长九寸三分六釐四毫〈有奇〉
夷则长六寸二分四釐二毫〈有奇〉
夹钟长八寸三分二釐三毫〈有奇〉
无射长五寸五分四釐九毫〈有奇〉
仲吕长七寸三分九釐九毫〈有奇〉
新法，黄钟长十寸，
整一百分，

林钟长六寸六分七釐四毫〈有奇〉
太蔟长八寸九分○八毫〈有奇〉
南吕长五寸九分四釐六毫〈有奇〉
姑洗长七寸九分三釐七毫〈有奇〉
应钟长五寸二分九釐七毫〈有奇〉
蕤宾长七寸○七釐一毫〈有奇〉
大吕长九寸四分三釐八毫〈有奇〉
夷则长六寸二分九釐九毫〈有奇〉
夹钟长八寸四分○八毫〈有奇〉
无射长五寸六分一釐二毫〈有奇〉
仲吕长七寸四分九釐一毫〈有奇〉
其二出京房《律准》，及《后汉志》。
旧法，黄钟长九寸，
每寸十分，馀律放此。

林钟长六寸
太蔟长八寸
南吕长五寸三分小分三强
姑洗长七寸一分小分一微强
应钟长四寸七分小分四微强
蕤宾长六寸三分小分二微强
大吕长八寸四分小分三弱
夷则长五寸六分小分二弱
夹钟长七寸四分小分九微强
无射长四寸九分小分九强
仲吕长六寸六分小分六弱
新法，黄钟长九寸，
每寸十分，整九十分。

林钟长六寸○○六毫〈有奇〉
太蔟长八寸○一釐八毫〈有奇〉
南吕长五寸三分五釐一毫〈有奇〉
姑洗长七寸一分四釐三毫〈有奇〉
应钟长四寸七分六釐七毫〈有奇〉
蕤宾长六寸三分六釐三毫〈有奇〉
大吕长八寸四分九釐四毫〈有奇〉
夷则长五寸六分六釐九毫〈有奇〉
夹钟长七寸五分六釐八毫〈有奇〉
无射长五寸○五釐一毫〈有奇〉
仲吕长六寸七分四釐二毫〈有奇〉
其三出《淮南子》及《晋书》、《宋书》。
旧法，黄钟之数八十一，
或云八寸十分一。

林钟之数五十四，
或云五寸十分四。

太蔟之数七十二，
或云七寸十分二。

南吕之数四十八，
或云四寸十分八。

姑洗之数六十四，
或云六寸十分四。

应钟之数四十三，
《晋书》作二，误。
《宋书》作三，是。

蕤宾之数五十七，
晋、宋皆作七。
蔡氏作六，误。

大吕之数七十六，
夷则之数五十一，
《晋书》有一字。
《宋书》脱一字。

夹钟之数六十八，
《晋书》作八，是。
《宋书》作七，误。

无射之数四十五，
仲吕之数六十。
新法，黄钟之数，八寸一分，
整八十一分。

林钟之数，五寸四分○六毫〈有奇〉。
太蔟之数，七寸二分一釐六毫〈有奇〉。
南吕之数，四寸八分一釐六毫〈有奇〉。
姑洗之数，六寸四分二釐八毫〈有奇〉。
应钟之数，四寸二分九釐○〈有奇〉。蕤宾之数，五寸七分二釐七毫〈有奇〉。
大吕之数，七寸六分四釐五毫〈有奇〉。
夷则之数，五寸一分○二毫〈有奇〉。
夹钟之数，六寸八分一釐一毫〈有奇〉。
无射之数，四寸五分四釐五毫〈有奇〉。
仲吕之数，六寸○六釐八毫〈有奇〉。
前十二律，皆古人旧率，所谓三分损益者也。后十二律，则新造密率，不用三分损益者也。凡算法归除，有不尽之数。然人目力所察，至毫而止。丝忽虽有数，非目所及也。是故此条得毫而止。毫下细数，但曰有奇。其详，则载诸第一卷中矣。

论曰：累黍造尺，不过三法，皆自古有之矣。曰横黍者，一黍之广为一分也。曰緃黍者，一黍之长为一分也。曰斜黍者，非纵非横，而首尾相衔也。黄钟之律，其长以横黍言之，则为一百分。太史公所谓子一分是也。以纵黍言之，则为八十一分，《淮南子》所谓其数八十一是也。以斜黍言之，则为九十分，《前、后汉志》所谓九寸是也。今人宗九寸不宗馀法者，惑于《汉志》之偏见也。苟能变通而不惑于一偏，则纵横斜黍，皆合黄钟矣。
三黍四律，古今同异考。
古法下生者，三分减一。三分减一，则为二也。故用二因三归。上生者，三分添一。三分添一，则为四也。故用四因三归。
别法下生者，五十乘之，七十五除之。上生者，一百乘之，七十五除之。所得与古同，而算术不同。

横黍百分律，依旧法算。
黄钟长十寸。
旧法，置黄钟为实，下生者二因三归，得林钟。别法以五十乘之，七十五除之，亦得林钟。

林钟长六寸六分六釐六毫六丝六忽六微六纤有奇。
旧法，置林钟为实，上生者四因三归，得太蔟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。

太蔟长八寸八分八釐八毫八丝八忽八微八纤有奇。
旧法，置太蔟为实，下生者二因三归，得南吕。别法以五十乘之，七十五除之，亦得南吕。

南吕长五寸九分二釐五毫九丝二忽五微九纤有奇。
旧法，置南吕为实，上生者四因三归，得姑洗。别法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。

姑洗长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纤有奇。
旧法，置姑洗为实，下生者二因三归，得应钟。别法以五十乘之，七十五除之，亦得应钟。

应钟长五寸二分六釐七毫四丝八忽九微七纤有奇。
旧法，置应钟为实，上生者四因三归，得蕤宾。别法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤宾。

蕤宾长七寸○二釐三毫三丝一忽九微六纤有奇。
旧法，置蕤宾为实，上生者四因三归，得大吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得大吕。

大吕长九寸三分六釐四毫四丝二忽六微一纤有奇。
旧法，置大吕为实，下生者二因三归，得夷则。别法以五十乘之，七十五除之，亦得夷则。

夷则长六寸二分四釐二毫九丝五忽○七纤有奇。
旧法，置夷则为实，上生者四因三归，得夹钟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得夹钟。

夹钟长八寸三分二釐三毫九丝三忽四微三纤有奇。
旧法，置夹钟为实，下生者二因三归，得无射。别法以五十乘之，七十五除之，亦得无射。

无射长五寸五分四釐九毫二丝八忽九微五纤有奇。
旧法，置无射为实，上生者四因三归，得仲吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得仲吕。

仲吕长七寸三分九釐九毫○五忽二微七纤有奇。
旧法，置仲吕为实，上生者四因三归，得黄钟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得黄钟。

黄钟长九寸八分六釐五毫四丝○三微六纤有奇。
比黄钟正律少一分三釐四毫五丝九忽六微三纤有奇。

斜黍九十分律，依旧法算。
黄钟长九寸。
旧法，置黄钟为实，下生者二因三归，得林钟。别法以五十乘之，七十五除之，亦得林钟。

林钟长六寸。
旧法，置林钟为实，上生者四因三归，得太蔟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。

太蔟长八寸。
旧法，置太蔟为实，下生者二因三归，得南吕。别法以五十乘之，七十五除之，亦得南吕。

南吕长五寸三分三釐三毫三丝三忽三微三纤有奇。
旧法，置南吕为实，上生者四因三归，得姑洗。别法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。

姑洗长七寸一分一釐一毫一丝一忽一微一纤有奇。
旧法，置姑洗为实，下生者二因三归，得应钟。别法以五十乘之，七十五除之，亦得应钟。

应钟长四寸七分四釐○七丝四忽○七纤有奇。
旧法，置应钟为实，上生者四因三归，得蕤宾。别法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤宾。

蕤宾长六寸三分二釐○九丝八忽七微六纤有奇。
旧法，置蕤宾为实，上生者四因三归，得大吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得大吕。

大吕长八寸四分二釐七毫九丝八忽三微五纤有奇。
旧法，置大吕为实，下生者二因三归，得夷则。别法以五十乘之，七十五除之，亦得夷则。

夷则长五寸六分一釐八毫六丝五忽五微六纤有奇。
旧法，置夷则为实，上生者四因三归，得夹钟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得夹钟。

夹钟长七寸四分九釐一毫五丝四忽○九纤有奇。
旧法，置夹钟为实，下生者二因三归，得无射。别法以五十乘之，七十五除之，亦得无射。

无射长四寸九分九釐四毫三丝六忽○六纤有奇。
旧法，置无射为实，上生者四因三归，得仲吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得仲吕。

仲吕长六寸六分五釐九毫一丝四忽七微四纤有奇。
旧法，置仲吕为实，上生者四因三归，得黄钟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得黄钟。

黄钟长八寸八分七釐八毫八丝六忽三微三纤有奇。
比黄钟正律少一分二釐一毫一丝三忽六微六纤有奇。

纵黍八十一分律，依旧法算。〈不作九寸〉
此法有二，出《史记·律书》者，是三分损益法。出《淮南子书》者，非三分损益法。故律数颇不同，今并载之。

其一，出《史记·律书》。
原文误字，朱熹、蔡元定皆辨之已详，兹不复载。但载乘除所得之数。

黄钟长八寸一分。
旧法，置黄钟为实，下生者二因三归，得林钟。别法以五十乘之，七十五除之，亦得林钟。

林钟长五寸四分。
旧法，置林钟为实，上生者四因三归，得太蔟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得太蔟。

太蔟长七寸二分。
旧法，置太蔟为实，下生者二因三归，得南吕。别法以五十乘之，七十五除之，亦得南吕。

南吕长四寸八分。
旧法，置南吕为实，上生者四因三归，得姑洗。别法以一百乘之，七十五除之，亦得姑洗。

姑洗长六寸四分。
旧法，置姑洗为实，下生者二因三归，得应钟。别法以五十乘之，七十五除之，亦得应钟。

应钟长四寸二分六釐六毫六丝六忽六微六纤有奇。
旧法，置应钟为实，上生者四因三归，得蕤宾。别法以一百乘之，七十五除之，亦得蕤宾。

蕤宾长五寸六分八釐八亳八丝八忽八微八纤有奇。
旧法，置蕤宾为实，上生者四因三归，得大吕。别法以一百乘之，七十五除之，亦得大吕。

大吕长七寸五分八釐五毫一丝八忽五微一纤有奇。
旧法，置大吕为实，下生者二因三归，得夷则。别法以五十乘之，七十五除之，亦得夷则。

夷则长五寸○五釐六毫七丝九忽○一纤有奇。
旧法，置夷则为实，上生者四因三归，得夹钟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得夹钟。

夹钟长六寸七分四釐二毫三丝八忽六微八纤有奇。
旧法，置夹钟为实，下生者二因三归，得无射。别法以五十乘之，七十五除之，亦得无射。

无射长四寸四分九釐四毫九丝二忽四微五纤有奇。
旧法，置无射为实，上生者四因三归，得仲吕。
别法以一百乘之，七十五除之，亦得仲吕。

仲吕长五寸九分九釐三毫二丝三忽二微七纤有奇。
旧法，置仲吕为实，上生者四因三归，得黄钟。别法以一百乘之，七十五除之，亦得黄钟。

黄钟长七寸九分九釐○九丝七忽六微九纤有奇。
比黄钟正律少一分○九毫○二忽三微○有奇。

其二，出《淮南子书》。
晋、宋二《志》及蔡元定所引，互有误字。上文已辨，兹不载。

黄钟位子，其数八十一，主十一月，下生林钟。
旧法，置八十一分为实，下生者以五百乘之，得四万○五百分。以七百四十九，为法。除之，得五十四分，为林钟。馀数在半分以下，弃之不用。

林钟之数五十四，主六月，上生太蔟。
旧法，置五十四分为实，上生者以一千乘之，得五万四千分。以七百四十九，为法。除之，得七十二分，为太蔟。馀数在半分已下，弃之不用。

太蔟之数七十二，主正月，下生南吕。
旧法，置七十二分为实，下生者以五百乘之，得三万六千分。以七百四十九，为法。除之，得四十八分，为南吕。馀数在半分已下，弃之不用。

南吕之数四十八，主八月，上生姑洗。
旧法，置四十八分为实，上生者以一千乘之，得四万八千分。以七百四十九，为法。除之，得六十四分，为姑洗。馀数在半分已下，弃之不用。

姑洗之数六十四，主三月，下生应钟。
旧法，置六十四分为实，下生者以五百乘之，得三万二千分。以七百四十九，为法。除之，得四十二分，馀数在半分已上，收之，作四十三分，为应钟。

应钟之数四十三，主十月，上生蕤宾。
旧法，置四十三分为实，上生者以一千乘之，得四万三千分。以七百四十九，为法。除之，得五十七分，为蕤宾。馀数在半分已下，弃之不用。

蕤宾之数五十七，主五月，上生大吕。
旧法，置五十七分为实，上生者以一千乘之，得五万七千分。以七百四十九，为法。除之，得七十六分，为大吕。馀数在半分已下，弃之不用。

大吕之数七十六，主十二月，下生夷则。
旧法，置七十六分为实，下生者以五百乘之，得三万八千分。以七百四十九，为法。除之，得五十分，馀数在半分已上，收之，作五十一分，为夷则。

夷则之数五十一，主七月，上生夹钟。
旧法，置五十一分为实，上生者以一千乘之，得五万一千分。以七百四十九，为法。除之，得六十八分，为夹钟。馀数在半分已下，弃之不用。

夹钟之数六十八，主二月，下生无射。
旧法，置六十八分为实，下生者以五百乘之，得三万四千分。以七百四十九，为法。除之，得四十五分，为无射。馀数在半分已下，弃之不用。

无射之数四十五，主九月，上生仲吕。
旧法，置四十五分为实，上生者以一千乘之，得四万五千分。以七百四十九，为法。除之，得六十分，为仲吕。馀数在半分已下，弃之不用。

仲吕之数六十，主四月，极不生。
旧法以为极不生者，言不复上生黄钟也。

论曰：三分损益，往而不返，其弊盖由七五为法，法太过而实不及也。《史记》、《汉书》所载律，皆三分损益。惟《淮南子》及《晋、宋书》所载，此法独非三分损益，盖与新法颇同。其所不同者，仲吕不复生黄钟耳。是知新法非自古所未有，疑古有之失其传也。若夫半已上收之，半已下弃之，此理律历家所共晓，故不论焉。
其四出《后汉志注》引《礼运古注》。
《后汉志注》引《礼运古注》曰：宫数八十一，黄钟长九寸，九九八十一也。三分宫去一生徵，徵数五十四，林钟长六寸，六九五十四也。三分徵益一生商，商数七十二，太蔟长八寸，八九七十二也。三分商去一生羽，羽数四十八，南吕长五寸三分寸之一，五九四十五，又三分寸之一，为四十八也。三分羽益一生角，角数六十四，姑洗长七寸九分寸之一，七九六十三，又九分寸之一为六十四也。三分角去一生变宫，三分变宫益一生变徵，自此已后，则随月而变，所谓还相为宫。
臣按：右一节，乃九分为寸之旧法也。语简意精，为律学之切要。然今本《十三经·礼记注疏》中无此文，不可考也。朱熹、蔡元定皆宗九分为寸之法，而不引此为證，盖未之详考耳。

纵黍八十一分律，依旧法算。〈命作九寸〉
此法有二，出《周礼注疏》者，系汉郑氏算法。出《性理大全》者，系宋蔡氏算法。二家律实同，而算法不同。

其一，出《周礼注疏》。
郑康成宗刘歆、班固之说，以六阳律配乾六爻，以六阴吕配坤六爻，故谓黄钟为初九，林钟为初六，太蔟为九二，南吕为六二之类。同位象夫妻，指初九之与初六也。异位象母子，指初六之与九二也。此系穿凿，今皆不取，祇取其算法云。

黄钟长九寸。〈每寸九分，馀律仿此〉
旧法，置黄钟长九寸为实，下生者二因得十八寸，三归得六寸，为林钟。

林钟长六寸。
旧法，置林钟长六寸为实，上生者四因，得二十四寸，三归得八寸，为太蔟。

太蔟长八寸。
旧法，置太蔟长八寸为实，下生者二因，得十六寸，三归得五寸，而馀一，命作三分寸之一，为南吕。

南吕长五寸三分寸之一。
旧法，置南吕长五寸，以分母三通之，得十五寸，纳分子之一，共得十六寸。上生者，四因，得六十四寸，为实。三因分母三得九，为法。除之，得七寸而馀一，命作九分寸之一，为姑洗。

姑洗长七寸九分寸之一。
旧法，置姑洗长七寸，以分母九通之，得六十三寸。纳分子之一，共得六十四寸。下生者二因，得一百二十八寸，为实。三因分母九，得二十七，为法。除之，得四寸，而馀二十。命作二十七分寸之二十，为应钟。

应钟长四寸二十七分寸之二十。
旧法，置应钟长四寸，以分母二十七通之，得一百○八寸。纳分子之二十，共得一百二十八寸。上生者四因，得五百一十二寸，为实。三因分母二十七，得八十一，为法。除之，得六寸而馀二十六，命作八十一分寸之二十六，为蕤宾。

蕤宾长六寸八十一分寸之二十六。
旧法，置蕤宾长六寸，以分母八十一通之，得四百八十六寸。纳分子之二十六，共得五百一十二寸。上生者四因，得二千○四十八寸，为实。三因分母八十一，得二百四十三，为法。除之，得八寸而馀一百○四，命作二百四十三分寸之一百○四，为大吕。

大吕长八寸二百四十三分寸之一百○四。
旧法，置大吕长八寸，以分母二百四十三通之，得一千九百四十四寸。纳分子之一百○四，共得二千○四十八寸。下生者二因，得四千○九十六寸，为实。三因分母二百四十三，得七百二十九，为法。除之，得五寸，而馀四百五十一。命作七百二十九分寸之四百五十一，为夷则。

夷则长五寸七百二十九分寸之四百五十一。
旧法，置夷则长五寸，以分母七百二十九通之，得三千六百四十五寸。纳分子之四百五十一，共得四千○九十六寸。上生者四因，得一万六千三百八十四寸，为实。三因分母七百二十九，得二千一百八十七，为法。除之，得七寸而馀一千○七十五，命作二千一百八十七分寸之一千○七十五，为夹钟。

夹钟长七寸二千一百八十七分寸之一千○七十五。
旧法，置夹钟长七寸，以分母二千一百八十七通之，得一万五千三百○九寸。纳分子之一千○七十五，共得一万六千三百八十四寸。下生者二因，得三万二千七百六十八寸，为实。三因分母二千一百八十七，得六千五百六十一，为法。除之，得四寸，而馀六千五百二十四。命作六千五百六十一分寸之六千五百二十四，为无射。

无射长四寸六千五百六十一分寸之六千五百二十四。
旧法，置无射长四寸，以分母六千五百六十一通之，得二万六千二百四十四寸。纳分子之六千五百二十四，共得三万二千七百六十八寸。上生者，四因，得十三万一千○七十二寸，为实。三因分母六千五百六十一，得一万九千六百八十三，为法。除之，得六寸而馀一万二千九百七十四，命作一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四，为仲吕。

仲吕长六寸一万九千六百八十三分寸之一万二千九百七十四。
旧法，置仲吕长六寸，以分母一万九千六百八十三通之，得十一万八千○九十八寸。纳分子之一万二千九百七十四，共得十三万一千○七十二寸。上生者，四因，得五十二万四千二百八十八寸，为实。三因分母一万九千六百八十三，得五万九千○四十九寸，为法。除之，得八寸，而馀五万一千八百九十六。命作五万九千○四十九分寸之五
万一千八百九十六，为黄钟。

黄钟长八寸五万九千○四十九分寸之五万一千八百九十六。
比黄钟正律少五万九千○四十九分寸之七千一百五十三。
已上诸律，出于《周礼注疏》，汉郑康成之算术也。

其二，出《性理大全》。
古法与蔡元定算法不同，是故名为别法。法虽不同，而算出之数则同焉。今并列之，以便参考。

黄钟长九寸。
旧法，置黄钟之率十七万七千一百四十七为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得九寸。别法，置黄钟长一尺为实，九因一遍退位，命作九寸。

林钟长六寸。
旧法，置林钟之率十一万八千○九十八为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得六寸。
别法，置林钟长六寸六分六釐六毫六丝六忽六微六纤为实，九因一遍，命作六寸。

太蔟长八寸。
旧法，置太蔟之率十五万七千四百六十四为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得八寸。别法，置太蔟长八寸八分八釐八毫八丝八忽八微八纤为实，九因一遍，命作八寸。

南吕长五寸三分。
旧法，置南吕之率十万○四千九百七十六为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得五寸，馀六千五百六十一为实。以分法二千一百八十七除之，得三分，共得五寸三分。
别法，置南吕长五寸九分二釐五毫九丝二忽五微九纤为实，九因一遍，至寸位住，得五寸。又九因一遍至分位住，得三分。共得五寸三分。

姑洗长七寸一分。
旧法，置姑洗之率十三万九千九百六十八为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得七寸，馀二千一百八十七，为实。以分法二千一百八十七除之，得一分。共得七寸一分。
别法，置姑洗长七寸九分○一毫二丝三忽四微五纤为实，九因一遍，至寸位住，得七寸。又九因一遍至分位住，得一分。共得七寸一分。

应钟长四寸六分六釐。
旧法，置应钟之率九万三千三百一十二为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得四寸。馀一万四千五百八十为实，以分法二千一百八十七除之，得六分。馀一千四百五十八为实，以釐法二百四十三除之，得六釐。共四寸六分六釐。
别法，置应钟长五寸二分六釐七毫四丝八忽九微七纤为实，九因一遍，至寸位住，得四寸。又九因一遍，至分位住，得六分。又九因一遍至釐位住，得六釐。共得四寸六分六釐。

蕤宾长六寸二分八釐。
旧法，置蕤宾之率十二万四千四百一十六为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得六寸。馀六千三百一十八为实，以分法二千一百八十七除之，得二分。馀一千九百四十四为实，以釐法二百四十三除之，得八釐。共得六寸二分八釐。
别法，置蕤宾长七寸○二釐三毫三丝一忽九微六纤为实，九因一遍至寸位住，得六寸。又九因一遍至分位住，得二分。又九因一遍至釐位住，得八釐。共得六寸二分八釐。

大吕长八寸三分七釐六毫。
旧法，置大吕之率十六万五千八百八十八为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得八寸。馀八千四百二十四为实，以分法二千一百八十七除之，得三分。馀一千八百六十三为实，以釐法二百四十三除之，得七釐。馀一百六十二为实，以毫法二十七除之，得六毫。共得八寸三分七釐六毫。别法，置大吕长九寸三分六釐四毫四丝二忽六微一纤为实，九因一遍至寸位住，得八寸。又九因一遍至分位住，得三分。又九因一遍至釐位住，得七釐。又九因一遍至毫位住，得六毫。共得八寸三分七釐六毫。

夷则长五寸五分五釐一毫。
旧法，置夷则之率十一万○五百九十二为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得五寸。馀一万二千一百七十七为实，以分法二千一百八十七除之，得五分。馀一千二百四十二为实，以釐法二百四十三除之，得五釐。馀二十七为实，以毫法二十七除之，得一毫。共得五寸五分五釐一亳。别法，置夷则长六寸二分四釐二毫九丝五忽○七纤为实，九因一遍至寸位住，得五寸。又九因一
遍至分位住，得五分。又九因一遍至釐位住，得五釐。又九因一遍至毫位住，得一毫。共得五寸五分五釐一毫。

夹钟长七寸四分三釐七毫三丝。
旧法，置夹钟之率十四万七千四百五十六为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得七寸。馀九千六百七十五为实，以分法二千一百八十七除之，得四分。馀九百二十七为实，以釐法二百四十三除之，得三釐。馀一百九十八为实，以毫法二十七除之，得七毫。馀九为实，以丝法三除之，得三丝。共得七寸四分三釐七毫三丝。
别法，置夹钟长八寸三分二釐三毫九丝三忽四微三纤为实，九因一遍至寸位住，得七寸。又九因一遍至分位住，得四分。又九因一遍至釐位住，得三釐。又九因一遍至毫位住，得七毫。又九因一遍至丝位住，得三丝。共得七寸四分三釐七毫三丝。

无射长四寸八分八釐四毫八丝。
旧法，置无射之率九万八千三百○四为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得四寸。馀一万九千五百七十二为实，以分法二千一百八十七除之，得八分。馀二千○七十六为实，以釐法二百四十三除之，得八釐。馀一百三十二为实，以毫法二十七除之，得四毫。馀二十四为实，以丝法三除之，得八丝。共得四寸八分八釐四毫八丝。
别法，置无射长五寸五分四釐九毫二丝八忽九微五纤为实，九因一遍至寸位住，得四寸。又九因一遍至分位住，得八分。又九因一遍至釐位住，得八釐。又九因一遍至毫位住，得四毫。又九因一遍至丝位住，得八丝。共得四寸八分八釐四毫八丝。

仲吕长六寸五分八釐三毫四丝六忽。
旧法，置仲吕之率十三万一千○七十二为实，以寸法一万九千六百八十三除之，得六寸。馀一万二千九百七十四为实，以分法二千一百八十七除之，得五分。馀二千○三十九为实，以釐法二百四十三除之，得八釐。馀九十五为实，以毫法二十七除之，得三毫。馀十四为实，以丝法三除之，得四丝。馀二不尽，共得六寸五分八釐三毫四丝，馀二不尽。
别法，置仲吕长七寸三分九釐九毫○五忽二微七纤为实，九因一遍至寸位住，得六寸。又九因一遍至分位住，得五分。又九因一遍至釐位住，得八釐。又九因一遍至毫位住，得三毫。又九因一遍至丝位住，得四丝。又九因一遍至忽位住，得六忽。共得六寸五分八釐三毫四丝六忽。
已上诸律，出于《性理大全》，宋蔡元定之算法也。

论曰：古人算律之妙，二种而已。一以纵黍之长为分，九分为寸，九寸为黄钟，凡八十一分，取象《雒书》之九自相乘之数焉。此《淮南子》之所载也。一以横黍之广为分，十分为寸，十寸为黄钟，凡一百分，取象《河图》之十自相乘之数焉。此太史公之所记也。二术虽异，其律则同。盖纵黍之八十一分，适当横黍之一百分耳。本无九十分为黄钟者也。至于刘歆、班固，乃以九十分为黄钟，推原其误，盖自京房始也。房时去古未远，明知古法九分为寸，以其布算颇烦，初学难晓，乃变九而为十，恐人不晓其意，故云不盈寸者，十之所得为分，此创始之辞也。至歆，则又以九分乘九十分，得八百一十分，命为黄钟积，实欲牵合于黄钟一龠之数。夫古历法以二十九日九百四十分之四百九十九为朔馀，算法除之，得五十三刻有奇。落下闳以八十一分之四十三为朔馀，算法除之，亦得五十三刻有奇。若以八百一十为法除之，止得五刻有奇，不满朔馀之数。是闳历以八十一分为法，取象黄钟一龠之长，非谓积实也。则黄钟决无长九十分，积八百一十分之理矣。淮南子、太史公、落下闳此三人，前汉律历之学，无出其右者，皆谓黄钟九寸即是八十一分，世儒不信，何也。朱熹、蔡元定始能表章九分为寸之法，有功律学亦多。但未勘破王莽、刘歆、班固之谬，是犹有遗憾焉。
新旧律试验第七
或问：新律旧律，其同异易知也，孰真孰伪，斯难知也。荅曰：试验，则易知耳。试验之法有二，其一累黍造尺，依尺造律，吹之试验。其二，吹笙定琴，用琴定瑟，弹之试验。所谓依尺造律者，多采金门山竹，择天生合式者为律，最佳。
金门山，亦名律管山，今属河南府永宁县地。虽产竹，其大竹不堪用，惟用小竹长节者耳。节短而不圆，两端不匀者，亦不堪也。甜竹最佳，而长节者尤为难得。选得天生律管，内外周径，自然合式，可珍可贵。然须先有定式，而后知其合否。

如无，则择厚竹内外修治，使合式，亦可也。
苦竹，俗呼为观音竹，此竹节长而厚，内外皆可修
治。假如黄钟外径五分，内径三分五釐，竹之厚者，外径五分强，内径三分五釐弱，则内外皆有馀，斯可以修治也。若外径在五分已下，而内径在三分五釐已上，则内外皆不足，斯不可修治也。馀律仿此。新采湿竹，待极乾，乃造。湿造则不佳。

治法，外用方错，内用圆错。各依后项开列内外径而治之。
竹匠、木匠，虽有巧者，但器未利，欲就利器，则于骨牙匠、旋匠辈，选巧者，易教也。方错，若马龈错之类是也，斯可治外。圆错，彼或无之，则令创造，似箭杆而细小，稍头微大，状若莲子。莲子周围即钢错也。旋转入内，取圆而已。黄钟倍律，错头圆径五分，黄钟半律，错头圆径二分五釐。如是错有三十六等，先小后大，渐次更换，造成，以尺量之，令内外径与分寸相合，名为合式也。

正律黄钟长八寸一分，〈用纵黍尺依新法算〉　外径四分○五毫　内径二分八釐六毫。
大吕长七寸六分四釐五毫　三分九釐三毫　二分七釐八毫。
太蔟长七寸二分一釐六毫　三分八釐二毫　二分七釐○。
夹钟长六寸八分一釐一毫　三分七釐一毫　二分六釐二毫。
姑洗长六寸四分二釐八毫　三分六釐○　二分五釐五毫。
仲吕长六寸○六釐八毫　三分五釐○　二分四釐七毫。
蕤宾长五寸七分二釐七毫　三分四釐○　二分四釐○。
林钟长五寸四分○六毫　三分三釐○　二分三釐三毫。
夷则长五寸一分○二毫　三分二釐一毫　二分二釐七毫。
南吕长四寸八分一釐六毫　三分一釐二毫　二分二釐○。
无射长四寸五分四釐五毫　三分○三毫　二分一釐四毫。
应钟长四寸二分九釐○　二分九釐四毫　二分○八毫。
半律黄钟长四寸○五釐　二分八釐六毫　二分○二毫。
大吕长三寸八分二釐二毫　二分七釐八毫　一分九釐六毫。
太蔟长三寸六分○八毫　二分七釐○　一分九釐一毫。
夹钟长三寸四分○五毫　二分六釐二毫　一分八釐五毫。
正律黄钟长九寸〈用纵黍尺依新法算〉　四分○四毫　二分七釐六毫。
大吕长八寸四分四釐○　三分八釐三毫　二分七釐○。
太蔟长八寸○一釐四毫　三分七釐三毫　二分六釐二毫。
夹钟长七寸五分一釐○　三分六釐三毫　二分五釐五毫。
姑洗长七寸一分二釐五毫　三分五釐四毫　二分四釐八毫。
仲吕长六寸六分六釐一毫　三分四釐四毫　二分四釐二毫。
蕤宾长六寸三分二釐四毫　三分三釐五毫　二分三釐六毫。
林钟长六寸○○四毫　三分二釐七毫　二分三釐○。
夷则长五寸六分○二毫　三分一釐八毫　二分二釐四毫。
南吕长五寸三分一釐四毫　三分一釐○　二分一釐七毫。
无射长五寸○四釐一毫　三分○二毫　二分一釐二毫。
应钟长四寸六分八釐一毫　二分八釐四毫　二分○六毫。
半律黄钟长四寸四分四釐四毫　二分七釐六毫
二分○二毫。

大吕长四寸二分二釐○　二分七釐○　一分八釐六毫。
太蔟长四寸○○六毫　二分六釐二毫　一分八釐一毫。
夹钟长三寸七分○四毫　二分五釐五毫　一分七釐六毫。
正律黄钟长九寸〈用斜黍尺依新法算〉　四分五釐　三分一釐八毫。大吕长八寸四分九釐四毫　四分三釐七毫　三分○九毫。
太蔟长八寸○一釐八毫　四分二釐四毫　三分○○。
夹钟长七寸五分六釐八毫　四分一釐二毫　二分九釐一毫。
姑洗长七寸一分四釐三毫　四分○○　二分八釐三毫。
仲吕长六寸七分四釐二毫　三分八釐九毫　二分七釐五毫。
蕤宾长六寸三分六釐三毫　三分七釐八毫　二分六釐七毫。
林钟长六寸○○六毫　三分六釐七毫　二分五釐九毫。
夷则长五寸六分六釐九毫　三分五釐七毫　二分五釐二毫。
南吕长五寸三分五釐一毫　三分四釐六毫　二分四釐五毫。
无射长五寸○五釐一毫　三分三釐七毫　二分三釐八毫。
应钟长四寸七分六釐七毫　三分二釐七毫　二分三釐一毫。
半律黄钟长四寸五分　三分一釐八毫　二分二釐五毫。
大吕长四寸二分四釐七毫　三分○九毫　二分一釐八毫。
太蔟长四寸○○九毫　三分○○　二分一釐二毫。
夹钟长三寸七分八釐四毫　二分九釐一毫　二分○六毫。
正律黄钟长一尺〈用夏尺造依新法算〉　五分　三分五釐三毫。
大吕长九寸四分三釐八毫　四分八釐五毫　三分四釐三毫。
太蔟长八寸九分○八毫　四分七釐一毫　三分三釐三毫。
夹钟长八寸四分○八毫　四分五釐八毫　三分二釐四毫。
姑洗长七寸九分三釐七毫　四分四釐五毫　三分一釐四毫。
仲吕长七寸四分九釐一毫　四分三釐二毫　三分○六毫。
蕤宾长七寸○七釐一毫　四分二釐○　二分九釐七毫。
林钟长六寸六分七釐四毫　四分○八毫　二分八釐八毫。
夷则长六寸二分九釐九毫　三分九釐六毫　二分八釐○。
南吕长五寸九分四釐六毫　三分八釐五毫　二分七釐二毫。
无射长五寸六分一釐二毫　三分七釐四毫　二分六釐四毫。
应钟长五寸二分九釐七毫　三分六釐三毫　二分五釐七毫。
半律黄钟长五寸　三分五釐三毫　二分五釐。大吕长四寸七分一釐九毫　三分四釐三毫　二分四釐二毫。
太蔟长四寸四分五釐四毫　三分三釐三毫　二分三釐五毫。
夹钟长四寸二分○四毫　三分二釐四毫　二分二釐九毫。
正律黄钟长八寸〈用商尺造依新法算〉　四分　二分八釐二毫。
大吕长七寸五分五釐○　三分八釐八毫　二分七釐四毫。
太蔟长七寸一分二釐七毫　三分七釐七毫　二分六釐六毫。
夹钟长六寸七分二釐七毫　三分六釐六毫　二分五釐九毫。
姑洗长六寸三分四釐九毫　三分五釐六毫　二分五釐一毫。
仲吕长五寸九分九釐三毫　三分四釐六毫　二分四釐四毫。
蕤宾长五寸六分五釐六毫　三分三釐六毫　二分三釐七毫。
林钟长五寸三分三釐九毫　三分二釐六毫　二分三釐一毫。
夷则长五寸○三釐九毫　三分一釐七毫　二分二釐四毫。
南吕长四寸七分五釐六毫　三分○八毫　二分一釐八毫。无射长四寸四分八釐九毫　二分九釐九毫　二分一釐一毫。
应钟长四寸二分三釐七毫　二分九釐一毫　二分○五毫。
半律黄钟长四寸　二分八釐二毫　二分。
大吕长三寸七分七釐五毫　二分七釐四毫　一分九釐四毫。
太蔟长三寸五分六釐三毫　二分六釐六毫　一分八釐八毫。
夹钟长三寸三分六釐三毫　二分五釐九毫　一分八釐三毫。
正律黄钟长一尺二寸五分〈用周尺造依新法算〉　六分二釐五毫　四分四釐一毫。
大吕长一尺一寸七分九釐八毫　六分○七毫四分二釐九毫。
太蔟长一尺一寸一分三釐六毫　五分八釐九毫
四分一釐七毫。

夹钟长一尺○五分一釐一毫　五分七釐三毫四分○五毫。
姑洗长九寸九分二釐一毫　五分五釐六毫　三分九釐三毫。
仲吕长九寸三分六釐四毫　五分四釐○　三分八釐二毫。
蕤宾长八寸八分三釐八毫　五分二釐五毫　三分七釐一毫。
林钟长八寸三分四釐二毫　五分一釐○　三分六釐一毫。
夷则长七寸八分七釐四毫　四分九釐六毫　三分五釐○。
南吕长七寸四分三釐二毫　四分八釐一毫　三分四釐○。
无射长七寸○一釐五毫　四分六釐八毫　三分三釐一毫。
应钟长六寸六分二釐一毫　四分五釐四毫　三分二釐一毫。
半律黄钟长六寸二分五釐　四分四釐一毫　三分一釐二毫。
大吕长五寸八分九釐九毫　四分二釐九毫　三分○三毫。
太蔟长五寸五分六釐八毫　四分一釐七毫　二分九釐四毫。
夹钟长五寸二分五釐五毫　四分○五毫　二分八釐六毫。
黄钟长九寸〈或依《后汉志》、京房所算，每寸皆十分〉此系旧法三分损益。林钟长六寸〈旧法每管内径三分，或径三分四釐六毫，系胡瑗法〉太蔟长八寸。
南吕长五寸三分小分三强〈小分三者谓三釐也下文仿此〉。姑洗长七寸一分小分一微强。
应钟长四寸七分小分四微强。
蕤宾长六寸三分小分二微强。
大吕长八寸四分小分三弱。
夷则长五寸六分小分二弱。
夹钟长七寸四分小分九微强。
无射长四寸九分小分九强。
仲吕长六寸六分小分六弱。〈已上见《后汉志》，即京氏所算也〉黄钟长九寸〈或依《性理》蔡元定所算，每寸皆九分〉此系旧法九分为寸。林钟长六寸〈旧法，每管内外周径，与黄钟同〉。
太蔟长八寸。
南吕长五寸三分。
姑洗长七寸一分。
应钟长四寸六分六釐。
蕤宾长六寸二分八釐。
大吕长八寸三分七釐六毫。
夷则长五寸五分五釐一毫。
夹钟长七寸四分三釐七毫三丝。
无射长四寸八分八釐四毫八丝。
仲吕长六寸五分八釐三毫四丝六忽。
每律上端各有豁口，长广一分七釐六毫，倍律、正律、半律皆同，勿令过与不及。不及则浊，过则清矣。通长正数连豁口算者，是也。除豁口不算，非也。倍律、正律、半律，但系律名同者，新律皆相协，旧律则不协。如是试验，真伪可辩矣。吹时不可性急，急乃焦声，非自然声也。古云：细若气，微若声，吹之可养性，有益于人也。
谨按：程颐尝曰：黄钟之声，亦不难定。世自有知音者。张载尝曰：今人求古乐太深，始以古乐为不可知。此语诚然也。盖知音者，随处有之。点笙之人，其非知音而何。彼但不知律之名耳。宜选精于点笙之人，先择声与黄钟相似之簧，令彼增减其蜡，务与黄钟律声全协。复择声与林钟相似之簧，亦令增减其蜡，务与林钟律声全协。然后两簧一口，噙而吹之，则知黄钟与林钟全协者，为是。不协者，为
非也。太蔟已下诸律，仿此。开列如左，
黄钟生林钟此二律相协。
林钟生太蔟此二律相协。
太蔟生南吕此二律相协。
南吕生姑洗此二律相协。
姑洗生应钟此二律相协。
应钟生蕤宾此二律相协。〈已上用笙一攒〉
蕤宾生大吕此二律相协。
大吕生夷则此二律相协。
夷则生夹钟此二律相协。
夹钟生无射此二律相协。
无射生仲吕此二律相协。
仲吕生黄钟此二律相协。〈已上用笙一攒〉
吹律人，勿用老弱者，气与少壮不同，必不相协。然非律不协也。宜选一样二律，令二人互换齐吹，察其气同，乃与笙齐吹相协。照前法增减各簧之蜡，一一点成，将律吕名写于本簧之管，先取二攒，依新法所算之律，点毕，别取二攒却依旧法所算之律，亦照前法点成试验，则新律与旧律，孰是孰非，皆可知矣。笙匠知音者，只吹律听之，即知协否。不用笙亦可也。