钦定古今图书集成历象汇编乾象典

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乾象典第三十七卷

月部汇考二

《罗雅谷·月离历指》《月离各种行度》

月离行度与日躔异，日躔恒依黄道，其行度三而已。随宗动天西行一也，自行二也，最高行三也。若月离则有七种，行度如左。
一曰随行。随行者，自东而西，依宗动天一日一周，七政恒星共繇之。其起算之界为子正初点，或午正初点，与太阳同。
二曰平行。〈一名本行〉平行者，月之本天自西而东，日平行一十三度有奇，二十七日有奇而行天一周。其界有二：一以太阳为界，从合朔起算，每日去离太阳若干度分，以命太阴之本行度分累积之。一以宫次节气，为界。
宫次如降娄大梁等，节气如春分秋分等。

从各初点起算，每日去离若干，以命太阴之本行度分累积之，此行谓之交周。满一周为交终，其初交曰正交，其次交曰中交，其行各及半曰正半交，曰中半交。○其两界命两种行度分，异名同理。
三曰自行。
一名本轮，旧名小轮也。因小轮非一，故改命之。

自行者，太阴之行不平不顺，有时疾有时迟，既而纷纭无凭布度。古历因想近月四周有一本轮，太阴既随本天循交道〈即白道〉东行，〈右旋〉又依此轮自东而西〈左旋〉一日行十三度有奇，二十七日有奇而行轮一周，此亦平行也。而与交道平行参错不一，所以下土视之，时疾时迟矣。因其疾迟以别于交道之行，故彼名平行，此名自行也。既曰自行，本轮则疾时与交行相合，迟时与次行相背，亦宜如五纬之法，有逆行度分。此独言迟不言逆者，月行甚疾，但见其迟，不见其逆也。此周谓之转周，满一周为转。终分四象，限首限曰正转；二限曰正半转，亦曰本轮之最高；三限曰中转；四限曰中半转，亦曰本轮之最庳。曰最高冲〈或省曰高冲〉行最高极，迟行最庳极疾也。
最高最庳之一周，又名不同心圈，其与本轮异名同理。

四曰次轮。次轮者，太阴之最高。既依白道行，则月离最高时，其距地心之远近宜等，迨测之则时时不等。古历又想本轮之周复有一次轮循，本轮左旋，月在次轮之上循周右旋也。此法古历所未有，以意命之。其行次轮一周名为次转终也。四分之则为小四象，第一名正初象，第二名正半象，第三名中初象，第四名中半象也。
五曰交行。交行者，从测候见太阴行白道。
古法月有九行殊谬，元授时历废不用，独言白道交周是也，一名月道

出入黄道约五度有奇，不行黄道中线。
何名黄道中线，七政恒星皆循黄道行，而六曜皆有出入，如太白，最远出入约六度。故黄道左右广十二度，名为黄道带，而太阳独行其最中，故名中线也。黄道一名躔道。

而两交于中线，两交之点：一名正交〈亦曰罗㬋〉，一名中交〈亦曰计都〉。两交之行自东而西，与他行异，亦名罗计行度也。
六曰又次轮。古来无有也，万历间西史第谷测候极密，得太阴行两小轮〈其一本轮，其一次轮〉。其各两半时〈两小轮各有正半中半〉之两均数，与实测之度分往往未合，故知次轮而外当有又次一轮。此之为数，微眇难分，其于历法未关损益，故无暇及也。
七曰面轮。面轮者，太阴既依本轮，又依次轮各周行，即月面宜恒向次轮心，下土所见时时旋转，须当不一。若之何终古恒如是，故当复有本行，使面恒下向也。此亦未关疏密，不复备著。
日月视径大小图

日月视径大小图说

古史记日食既者，或言昼晦，恒星皆见，鸟栖兽宿，或月不尽掩，日有金环。
如中图，月全掩日，即其似径与日似径等，此则食既于东，生光于西。既与甚同时不移晷也。如右图：月体不足掩日，则有金环月之，似径为小。如三图，则食既以后，更有食甚，久而生光，月之似径为大。所以然者，日在最高，月在本轮最卑，日高故视径小，月卑故视径大，则掩日有馀也。日在最卑，月在最高，日之视径大，月小，则掩日不足也。俱在最高，俱在最卑，故两视径等，则掩日适足也。

《日月之视径与实径大小绝异》

是其徵有七，凡视径〈与似径同〉时见大时见小，必非其实也，视也。一徵也。即有时等，而日在上，去人远，月在下，去人近，则日之实径必大，月必小。二徵也。月掩日，下土所见，九服各异。如此方此时日全食，南北相去四五度〈二百五十里为一度〉，即不见全食，东西同时亦不见全食，是则月入地球为小，地视日亦小，月视日更小。三徵也。地景短，不能食荧惑，何况岁星已上，则地小于日，月过地景则食，食时见月小于地景，则更小于日。四徵也。七政各有性情能力，施暨下土，其势略等，乃其视行有疾有迟。行迟者，其天周大，人见为迟，本行自疾，所以然者，远故也。近者行疾，其天周小，如舟行大水，远见行迟，近见行疾，因是能力所施，近而疾者，其见功亟，远而迟者，其见功缓。五徵也。月距日九十度，其光过半圈，则发光之体大，受光之体小。六徵也。因上推，月距地为地全径者三十，日距地为地全径者六百○五，则日比月天，其大〈算周〉约二十倍。日本天半度，月本天半度，则其比例为一与二十。七徵也。

《月天视七政天为小去人最近》

曷知之，以交食知之。凡言食者，物在于彼，有他物隔焉。或亏或蔽，则谓之食。所食者必远，能食者必近也。所食者必在外，能食者必在内也。以球论，则内近心者必小，外远心者必大也。试观月掩日，日为之食。日外月内不待言矣。月掩恒星，星为之食，星外月内不待言矣。独月与五星，历家言有时星食月，有时月食星，亦未然也。夫星固未始有在月下者也。历稽古史，多言月食五星，而不言五星食月，斯著明已。
求月之实径图

求月之实径图说

测月之实径用地径，古法也。今依歌白泥术，月平〈雨雷际〉距地度为三十，地全径又四之一，其视径三十二分二十八秒。推算如左：
如图丁为地心，乙甲丙为月径三十二分，丁甲为月距地三十，地全径成甲丁丙三角形，有角有边，求乙丙得千分地全径之二百七十六弱。为月全径约之，得月一地三倍有半强。若以周径法求之，则七〈径也〉与二十一〈周也〉，若六十○半地径〈月天之半径〉，与月天之周依法算得一百九十地径。又七之一以三百六十〈天周平度〉而一，得一度为三十六分地径之一十九，次以六十分为一率，〈六十分一度也〉三十六之一十九为二率，三十二分为三率，求得二千一百六十分地径之六百三十六，约得二十四之七，或三有半之，一同上率。
若用月五限数所得，大数同上，零数小异，不足算。

《定月实径里数》

天度里差，古今不一，今约定南北二百五十里而差一度，以天周三百六十乘之得九万里，求径得二万八千六百四十八里。以日十数〈地一日五又百之四十三〉乘地径之里数，得日之实径为一十五万五千五百六十五里，月之实径为地径千分之二百七十六，以乘地径之里数，得七千九百○七里。

《总论月天象数》

分别太阴象数，凡为球体者四：第一与第二为表里，皆与地同心，第一球之大圈〈一名中圈一名腰圈〉为白道，白道与黄道两交而分为斜角，两交之处，一曰正交，一曰中交，第二球者，复球也。复球以外，大球以内，函两小轮焉。小轮之大者，为第三球，名曰本轮，亦曰自行轮。轮之径为两大球之距。小轮之小者，为第四球，名曰次轮。
月行九道图

月行九道图说

如图，外大圈，白道也，又名月天大圈〈包他轮其中〉，又名斜圈〈斜交于黄道〉，亦名交周，亦名龙头龙尾之圈。
正交为龙头，中交为龙尾，本圈两交黄道，其两交点，时时迁运。

亦名九道。
一白道也。在黄道之四方，皆有内外，并黄道为九焉。元以来不用此术。

表里二天，中容小轮，一体左旋。〈如宗动天行与七政违行〉小轮从之一日，行三分一十秒四十七微，一平年〈三百六十五日〉行一十九度一十九分四十三秒，凡六千八百九十三日有奇而一周。
黄白道极圈图

黄白道极圈图说

四球合体，总名曰月本天，其南北二极距黄道二极，各五度有奇。
上论黄白道相距，或内或外，最远者五度有奇。

夫黄道行天，不以黄道极为枢，而以赤道极为枢。故黄道极去赤道极，二十三度有奇，而环行，名曰黄道极圈。月道行天不以白道极为枢，而以黄道极为枢。故白道极去黄道极，五度有奇，而环行，名曰白道极圈。
如上图，图有两黄道，其外则外天黄道或日天，或宗动任意取之。

月本天中，自有三行：一曰交行，二曰本轮自行，三曰次轮自行。三行各有轨辙，其辙迹安在，在其大圜平面也。何谓大圜平面，如本天白道为大圜〈球之腰圈最大〉，从白道判本球为二，即所判之处，为两大平面交行在其周，本轮、次轮行皆在其面也。
两交一名正交，一名中交。月在正交，向黄道内行九十度，谓之正半交。此半周谓之阴历。过半周为中交，向黄道外行九十度，谓之中半交，此半周谓之阳历。过半周而复于正交，为交终，西历谓之龙头龙尾。盖两道间成蟠曲之形，腹粗末细有若虫蛇，非谓有龙食月，如俚俗之说也。又谓之登降之交。月行黄道内自南之北，渐高于地平，则言升行。黄道外自北之南，渐向地平，则言降，或称外内，或称上下，其义一也。若罗㬋计都之名，非古历所有，疑出于九执唐人，再用九执历僧一行写之，而未尽陈，元景争之而不得。独两交，犹仍其译言耳。
月平行圈图

月平行圈图说

平行圈者，太阴全天，表里二球之中圈也。与地同心，为本轮心平行之轨道，故名负小轮圈。其行顺七政右旋〈自星纪至元枵也〉，其界有三：
第一、以节气为界。如冬至春分等。〈或以宫次〉一日行一十三度一十分三十五秒○一微，为月之距。节平行分〈止右旋一行〉满一周得二十七日三十○刻一十三分○五秒，为交终。
第二、以太阳经度为界，太阳平行经度日五十九分○八秒二十○微，月之日行多，太阳之日行少，以少减多，得一日之相距一十二度一十一分二十三秒四十九微。满一周又逐及于日为朔策。
或会望策○太阴距太阳行二十七日有奇，而一周其间。太阳亦行二十七度有奇。则太阴行一周外又二十七度有奇，而逐及于日，与之会，共为二十九日有奇也。

第三、以正交为界。正交逆行〈左旋〉，太阴顺行〈右旋〉，一向左，一向右，两相违背，故距交一行谓之杂行。两行相并，
正交行三分一十一秒，太阴行一十三度十分三十五秒。

得一十三度一十三分四十六秒。
月自行轮周图

月自行轮周图说

自行轮周，为次轮心平行之轨道〈即本轮〉。次轮行于本轮周左旋〈与七政违行，以本轮之最高为界〉，初逆行〈向左约九十度留际转初〉，转顺行〈向右至半周过最庳留际转中〉，复逆行。如图，月在次轮周从地心作两线切本轮周也。〈月在本轮上半周两切线外，日逆下半周两切线内，曰顺〉若月在心线〈从地心过本轮心是为本轮之最庳〉，两行〈平行自行〉度分等若在心线前或后，两度〈视经度平行度〉必不等，次轮心从最高算，日行〈一十三度三分五十三秒五十六微〉为转度分，而一周为转终度分也。〈二十七日五十二刻一十一分五十四秒，为次轮心从最高行一周，而复于故处〉
月次轮图

月次轮图说

次轮者，月体所行之轨道，其界向本轮心为最近，界之冲为最远。试以一线联两心，线即其界矣。〈如图甲丙乙丁线〉月体在次轮近地心半周，即月体逆经度行，而顺本轮行；若在其远地心半周，即月体顺经度行，而逆本轮行。从本轮心出两线切次轮两旁，即定本轮心第二均加减之界○如上测月行诸论以定朔望，则用一自行之均数足矣。为朔望时，月体必在本轮内甲乙丙丁圈上故也。去离朔望，宜用两均数，自朔至望，望至朔必行次轮一周而复，故月实行距太阳一百八十度，行次轮一周三百六十度，而次轮周之日行度必倍于距太阳之日行度，每日得二十四度二十四分四十七秒三十微，行一周为一十四日七十三刻七分有奇，半月之率也。〈天上周圈，不论大小，皆平分三百六十度〉凡月行距日九十度〈两弦〉，次圈周行半周在次轮最远，而距平行经度为极远。如上图，小轮上之月体所丽，为视行平行之极大差。○因上两小轮行度在本轮有最高最卑，在次轮有最近最远，定为自行之四限。
月次轮高卑远近图

月次轮高卑远近图说

凡月在次轮上最远〈远近以去离本轮心论〉，次轮心又在本轮之最高，则月距地心为极远，图为甲。月在次轮之最远，次轮心在本轮之最卑，则月距地心为极近，为乙。若在次轮最近，本轮最高则为次远，为丙。在次轮最近本轮最卑，则为次近，为丁。因此四限屡变，视行之势也。惟朔望时，月恒在次轮之最近。

《论太阴晦朔伏见》

太阴晦朔伏见，古今立论疏密迥殊，汉儒洪范传曰晦而月见西方，谓之朏〈亦曰朓〉。朏者，政缓所致。朔而月见东方，谓之侧匿。侧匿者，政急所致。夫晦在朔后，晦失也，朔在晦前，朔失也。历则失之，而归咎于政，诬甚矣。唐历家以晦日之晨，月见东方，因立进朔之法，使月隐晦晨，明藏朔夕，此则钩索未能，而妄生迁变，使月有两朔，食乃在晦，将谁欺乎。宋元史皆非之，颇为辨晰，然未能缕形其所以然也。夫月距晦朔见有疾迟，因乎天度，因乎地度，即此方近处合朔于亥子之交，而甲日之晨，乙日之夕，两见微明亦时有之，此之进退将安往焉。况海以南数千里则有甲晨乙夕终岁恒见者。漠以北数千里则有朔在午中，朝暮皆见者，亦将使晨隐夕藏，其可得乎。今法若时若地，应速应迟，皆从筹算可密推，用仪器可指数，先事可豫言，临时可确按，又何庸转移避就为也。以此备述所繇徵之度数如下论：
问：太阴合朔以后，恒以三日见于西方，亦有二日者，其在晦以前亦如之，何故。曰：是其因有三。○一因赤道上之黄道升降度有正有斜，正升则斜降，斜升则正降，正升斜降者，秋半周六宫〈秋分左右各三宫〉是也。斜升正降者，春半周六宫〈春分左右各三宫〉是也。〈皆论斜球非正平球〉正升者，赤道之升度多，黄道之升度少；正降者，赤道之降数多，黄道之降数少。斜升斜降则反是。
凡南极出地者与上论悉相反。

若太阴离正降六宫，则朔后疾见。若离斜降六宫，则朔后迟见。其在晦前亦如之，离正升六宫，则迟隐，离斜升六宫，则疾隐也。
月行黄道斜升正升图

月行黄道斜升正升图说

如二图，各有子午圈，有地平，有极出地等，有黄道宫。次二图，上图月离大梁，为正降宫次，距太阳十五度。日入月在地平上为十三度半，即能见。下图月离大火，为斜降宫次，距太阳十五度，日入月在地平上为十度，即不能见。一也。
月视行迟疾图

月视行迟疾图说

一因白道南北，如图。设月距黄道五度，距太阳皆十五度，而纬分南北。
日月各有一日所行之轨道，即赤道，距等圈也。今如图，设黄道左右五度，各一圈交于距等月，在焉两月各至地平，其弧有大小，则入地有先后，人见有迟速。

若在北，即入地后，黄道疾见。若在南，即入地先，黄道迟见。二也。○一因月视行度。若视行为迟段，则朔后见月迟；为疾段，则朔后见月疾。三也。○右第一因月之见界以十五度为限，其疾者朔后一日又四分日之一而见也。若三因并合，又不待此，如合朔在亥子间则甲日，太阳未出亦见东方；乙日，太阳已入亦见西方。何以徵之，设月在黄道北五度，太阳躔实沈一十五度，本地北极高四十度即昼长〈甲之日也〉五十九刻〈日九十六刻〉加一日刻〈甲之夜乙之日〉共一百五十五刻〈甲晨至乙夕〉于时月行，约得二十三度，平分之〈合朔前后〉得一十一度半，以加实沈十五度，〈日躔也〉得实沈二十六度半，是乙日日入时，月之距日经度也。以减十五度，得实沈三度半，是甲日日未出，月之距日经度也。日躔实沈十五度，其斜升五十三度一十三分，月离实沈三度半。又北距五度其斜升三十六度半，日月两升度相减，得一十六度四十三分，为甲日之晨。日月赤道上出地平之差〈月先日后〉，变时为月，出四刻半而日出，得见月东方也。乙日太阳正降为九十五度，月离实沈二十六度半，其正降为一百一十三度，两降度相减得一十八度，为乙日之夕日月赤道上入地平之差〈日先月后〉，变时为日入五刻而月入，得见月西方也。○若日躔冬至月离黄道南，推日月出入之差，不过八度，变时为二刻，则不见。
一系凡极出地，愈高愈疾，见因斜升度之差为多，否则迟见。
二系极甚高，朔后数日不见。
三系月距黄道南五度，若极出地六十二度，月尽夜不见。
四系极甚高，合朔在午正，则一日之间晨见东方，夕见西方。如极高五十二度，躔离度同上推得日月升降差一十二度时为三刻，皆在月见界之内。
五系既定月之见界为距日十二升度，亦可推迟见之日数。如极出地四十度，日躔降娄，月南距五度，推得两斜升差为一十二度，即得月距日之经度为四十度，月行当三日有奇，则朔后三日有奇而见月西方，晦前亦如之。
三因之外又有两因，一曰朦朦分〈即晨昏度，一名昧爽黄昏〉。日入地平下一十八度为胧胧之未分，因升降有正斜，斜又有大小，则月距日十二度有时得见，有时不得见。一曰气清浊差。如同是子正时，有时见极微之星，有时不得见。四五等之星，气则使之，其在月也亦然。

《论月体》

月体为圆球。何以知之，凡圆体于诸体中为最尊，如天，如日月星，如地，亦于万象中。为最尊，故应圆。凡物之初体皆圆。〈如核如卵如胎〉诸大象皆始造时之初体故应圆。又月之体半为明，半为魄。其明魄之界，时为弦直线，时为弧曲线。若果平体，何从得生弧线。且既为平面，日照之，宜全体发光如平面之镜，一向日即全镜发光也。月为不然，则非平面。○试以人目，居中置一烛，东方稍远，置一球西方稍近，相参直即见球全受光，次不动目烛，独移球西南隅，即见球大半为明，小半为魄；更移球正南，必明魄各半，其界为直线；更移，得魄大明小；更移正东，必见全魄。烛为太阳，目为地，为人，球为太阴，以近远日为光大小，其明魄界半周之间，为直线者一而已，馀皆弧线也。
论其体质，非清非纯虚实杂也，故能映光不能透光，能发光不能回光。何谓透光，如水、如玻璃、水晶、金刚石，皆纯清，故能透光。不止映光非惟不能回光，亦且不能发光。何谓回光，如明镜为全实，故能回光。不止发光非惟不能透光，亦且不能映光。月皆不然，而虚实疏密介在其间，故能映能发也。○然则何似稍似于云，云掩日月皆能映光，质薄则光显，质厚则光微，早日未出，夕日巳入，照云成霞，霞照下土。虹霓之属，本因云气而成光采，是为发光体。实则光大体虚则光小月实，似之独云之映光多，发光少，月之映光少。发光多，此为异耳。

《论月驳》

月面不纯一色，如斑驳然，昔人以为山河大地之景，不然也，山河大地之体，东西不等，云何月中之景时时不变乎，然则如何此有二说。
月驳图

月驳图说

一曰月本圆体，特其体中疏密虚实不得纯一，不能如镜光合体回返所受之光，第因其本质所至，自为发光，密实处发光大，虚疏处发光微。
如金刚石胜玻璃，玻璃胜水，其质疏密虚实不等故。

凡大光明中间有弱光可指，则曰大光中之驳点也。如大赤霞中间有淡红可指，则曰大赤中之驳点也。是故名为月驳也。一曰月体如地球，实处如山谷土田，虚处如江海，日出先照高山，光甚显。次及田谷江海，渐微。如人登大高山视下土，崇卑其明，昧互相容也。试用远镜窥月，生明以后，初日见光界外别有光明微点，如海中岛屿，然次日光长魄消。
日渐远，明渐生，如人上山渐远，渐见所未见。

则见初日之点，或合于大光，或较昨加大，或魄中更生他点，〈如日出地，先照山颠，次照平畴等〉以光先后，知月面高卑，此其徵已。

《论月光》

太阳为万光之原本，其体至实。
光大小因体虚实，如炼铁之光大于炼炭之光，铁体实于炭也。

其质极纯〈质不纯者，光亦不纯，则不能大〉，其体为全球曲面。
凡发光者，不论曲面直面，必须顺平。若凹凸之面，不能发大光，稍有偏欹，光则相夺，亦不能大。

故在大圜中为大光之独体，月及经纬诸星之光，皆从禀受焉〈月借日光，古语则然〉。何以明之，如月食甚时，地球隔太阳之光，露光极微，目所难见。一也。日食甚时，月在日与人目之间，月之下魄不受日光，人目见之则为黑色。二也。
问：月既无光，乃两食甚时，亦有淡光，此为何故。曰：体实无光，而能受光，而能发光。两食之时，不受日光而经纬诸星亦能映照，相受相发，因生微光矣。
月光有二，一为对日而发光，名曰正光。一为日光不至，而从所受之处相映，发为微光，名曰次光。
月受日光大半图

月受日光大半图说

问：月近日，人见光小；远日，人见光大，何故。曰：月合朔时，外大半受光。
日体大，月体小，则日必照月之大半。

人自下土，止视其内小半，则无光。既而生明，所见渐大，至一象限，则已见其受光之大半，故渐远渐大也。何谓日照月之大半。如图，甲为日，乙为月，戊丁、己丙、两光线切月体，从丙从丁向乙作两垂线，成戊丁乙、己丙乙两直角，则丁乙、乙丙两线不成一直线。何者，凡一直线截平行两线，其内两角并与两直角等，反之若两直线不平行，即一端渐近一端渐远，其渐近内两角必大于两直角。今设丁丙两直角则丁乙，乙丙不能以一直线与乙为角，若从乙心作径线，必在丁丙两点之上，则丁、庚、丙必月周之大半矣。
月近日受光之分大，远日受光之分小。
月体自无运动，曷知之人所恒见斑驳之象，终古不易。
月近日受光分大远日受光分小图

月近日受光分大远日受光分小图说

月朔时，上大半为明，下小半为魄；月望时，上小半为魄，下大半为明，两弦各明魄半也。如图，甲为日，乙丙丁戊为月本天，人在地为己。月或上或下，恒半为明，半为魄。从人目作视线，自见月距日近光小，距日远光大。
从生明以后渐长，生魄以后渐消。

人止见月体之小半，人目一点也，从点作两线，切一圈两切线之内，弧必圈之小半。〈如图〉
如上言：日照月得大半，人见月得小半，则定望前后各数刻，月犹能发全光，满大半之限，然后魄生而光减，非若晦朔之间，一瞬即生明也。
月去地有高卑人目所视有远近图

月去地有高卑人目所视有远近图说

问：日照月，人见月，各几何数。曰：日月去地、去人，各有高卑，近远不等。古法分月体周为三百六十度，折中推得日照月为一百八十一度六分度之一，人目见月为一百七十八度四分度之一，日照地为一百八十○度二十五分半。
月体地球其周分为三百六十度与天等

如图，甲为日，乙为月，己为地。日月之视径约等〈月在最高日在最高冲〉。人目在戊，则戊丙戊丁两视线，定见月之丙庚丁弧。从月心乙向丙、向丁作乙丙、乙丁两垂线，成乙丁戊丙斜方形，从乙戊平分之，作乙丁戊直角形，形有丁戊乙角一十五分四十○秒。
日月视径并约为三十一分二十秒

即丁乙戊角，必八十九度四十四分二十○秒。其丁庚为见月之半弧，倍之得一百七十九度二十八分四十○秒。
若月径为二十八分，则所见弧之小馀三十二分。若月径为三十三分，则小馀二十七分。
因上图，推合朔时日照丙辛丁弧，丙辛丁者，丙庚丁之馀也。是为一百八十○度三十一分二十○秒。用日距地之数及其比例，推得日照地为一百八十○度二十五分三十六秒。
月上下弦前后人所视有曲直线图

月上下弦前后人所视有曲直线图说

问：月生明后，其光曲抱月体至上弦下弦，明魄之界则为直线。望前望后，明魄之界，又为弧曲之线，何故。曰：月本球体，人目所见似为平面，其理正如平仪。然仪之子午圈可当月周，皆大圈也。仪之极分交圈，可当上下弦。明魄之界皆直线也。仪之时圈可当太阴。每日距太阳渐长渐消。明魄之界皆弧曲线也。凡仪上大圈皆分球为两平分，其全见者独子午圈耳。他诸圈皆半见，半在仪之彼面。彼面者，在月则为上半球也〈人所不见〉。平仪曲线〈即时线〉，本是大圈斜络于球，止见其半，故为不等撱圈之半。
人视之为撱圈渐消渐长故不等

月面中，明魄界之弧曲线，本亦大圈，因其斜络，止见为半，亦不等撱圈之半也。
其与平仪本理未能全合者，仪上圈皆分球为两平分。此依上言月受光者大半，不受者小半，则明魄之照界，别成一小圈，为大圈之距等。而非月球之中圈。
中圈必大圈也分球为两平分
人目所见之界，其直线则距等圈之似直线〈本是圈也，人视
为直〉。其弧曲线，则亦距等撱圈之半也。以此之故，朔后三四日，新月之两端，能过半周之界。
月光日所照与人所见时各不同图

月光日所照与人所见时各不同图说

问：月行每日去离太阳约十二度等也，然朔前后光魄消长之分数少，两弦前后消长之分数多，望前后复少，人于定望前后一二日，见月光如不易，何故。曰：月礼本圆，圆面之上必有两圈，皆为明魄之界，一为日所照之界，一为人所见之界，两圈于定朔时，相合为一。〈照与见相反〉定望时，亦合为一。〈照与见相同〉过朔望，渐相离。
如两交圈结于两极，渐展渐离，相离之处，若黄赤二道之距远度也。

两界圈之距间，则人所见月体有光之分也。以此推之，人目所见为球之正面，如平仪之极分交圈也。两界合圈，在球之侧面，如平仪之子午圈也。初日相离距度若干，人侧视之则见少；如时圈之近子午度分等，人侧视之则见狭；两弦时距度亦若干，人平视之则见多；如时圈之近极分圈度分等，人平视之则见广也。故朔望之消长，非少而见少；两弦之消长，非多而见多也。如图，甲为日，乙为地，丙为月，丁、丙、戊、庚为人所见月之半，己、丙、庚、丁为日所照月之半，丁庚为两界之距间，即本时，人见月体有光之面也。
从目、日及月心，作甲乙丙三角平面，平分月体，则己、丁、庚、戊为圆面。

甲乙丙角形，有甲乙〈日距地心〉约一千二百地半径，有乙丙〈月距地心〉约六十地半径，又有甲乙丙角为月距日之度。〈试作癸子弧即得乙角之度〉求丙甲乙角。设月距日之乙角为四十度，算得一度五十五分，以并四十度得四十一度五十五分，又引长乙、丙、戊、甲、丙、辛外角，即与丁丙庚角等。
庚、丁、壬、丁、壬、辛皆四分之一，各减共用之丁壬其两馀等。

甲、丙、辛外角与相对之两内角等，即丁庚弧亦与两内角等，则月距日四十度，人所见月体有光之分，约得四十二度。
言约者，未定之辞也。如上论月体明魄两界圈，似大圈而实，距等圈则有差。又约月距地为六十地半径，然时多时少。日距地为一千二百地半径，亦时多时少。又月经度距日四十度，或在南，或在北，亦有差，是故约言之。

若测得月体明魄两界之比例，可推月距日之度，即上图说反用之。
每日月面光界图

每日月面光界图说

欲图某日之月光界，先求月距太阳若干度分，次依上法，求月面半径上明魄界若干度分，从两极
月面上两极，定为过白道两极之大圈线，或与白道为直角。

作撱圈之半，乃本日所见月面有光之界也。若未至九十度，光作角形。若过九十度，作未成圆形。如图甲丙为月之两极，丁戊为明魄之界，甲戊丙线为本日之月光界，甲戊丙丁为两角之形，甲、戊、丙、乙为未成圆形。
用上法推凡日光界为全径。
十分之一距日二十六度。
十分之二距日四十度半。
十分之三距日六十度。
十分之四距日七十二度半。
十分之五距日九十度弦也。
十分之六距日一百○七度半。
十分之七距日一百二十度。
十分之八距日一百三十五度半。
十分之九距日一百五十四度。
满十分距日一百八十度望也。
以上数，依目测为定。若推算，当求月高卑，求白道纬度，当有微差。
月望光色中边有浅深图

月望光色中边有浅深图说

问：月望时，中心光色稍浅，四周光色特深，何故。曰：月体圆中心体一分，发光一分；四周体三分，发光一分。一分者，所受日光少，故发光浅。三分者，所受日光多，故发光深。如图甲，为月体，乙为目见月之角，从角分为十分中一分，见月周一十一度有奇，旁一分见月周二十五度有奇。
《历象图说》太阴次轮图四

太阴次轮图二太阴次轮图二

太阴次轮图三太阴次轮图说太阴次轮图三太阴次轮图二太阴次轮图三

太阴次轮图说太阴次轮图二太阴次轮图三

太阴次轮图说太阴次轮图说

均轮之心，行于本天。小轮之心，行于均轮。此各曜之所同也。乃各晒光体，又行于次轮。而次轮之心，行于小轮。惟太阴系于小轮，而行者不以次轮之心，而以次轮之边。故其迟疾加减，与各曜有不同者，次轮起于距日之远近，亦各曜之所同也。乃五星之次轮，木、火、土与日一合而行一周，金、水与日再合而行一周，惟太阴次轮，与日一合而行再周。故其迟疾加减，与各曜尤有不同者，次轮边界从合朔起，系于小轮为最近半周上弦，而至远矣。一周复于近为望，又半周下弦而远，再周复于近，而合朔矣。次轮以此朔望点，系于小轮上，右转周行，既倍于小轮心，行于均轮之度，而月体之行于次轮周者，又一合朔而有再周。由是均轮既有高卑，小轮又有远近，次轮上复有朔望、二弦。而太阴之所在，测其经度而有迟疾，测其纬度而有出入，测其光体周径而有益损。象数可徵，皆古法之所未备。如一图，均轮心行至辰，小轮心自高行至丙各一象限，次轮朔望点，必自近至远行一百八十度，其平实之差，为一均数。若月在次轮弦点，则更有实经之差。〈二三均〉当并于一均，为极大之减均也。〈古名迟疾差〉二图，均轮心行至戌小轮心，自卑行至辛，各一象限，次轮朔望点，必自近至远，行一百八十度。其平实之差，为一均数。若月在次轮弦点，则更有实经之差，当并于一均，为极大之加均也。〈古名疾差〉三图，均轮心行至午小轮心，自高行至甲，各三十度。〈朒初限〉次轮朔望点，在小轮上，必自近至次，行六十度。其平实之差，为一均数。若月在次轮，自次向弦行至月，则有实经之差，当损其一均，馀平经之差为定减均也。四图，均轮心行至亥小轮心，自卑行至庚，各六十度。〈脁初限〉次轮朔望点，在小轮上，必自近至上行一百二十度。其平实之差，为一均数。若月在次轮，自上行至月，则有实经之差，当益其一均，得平经之差，为定加均也。
晦朔弦望图

晦朔弦望图说

月借日光，故与日同度，则人见其相合而晦。自朔后渐远于日而生明。与日近一远三，则半明半晦，为上弦。与日对度则全体皆明，为望。自此渐追及日而生魄，迨与日远三近一，又半明晦，为下弦。及再追及日而与之合度，则又一晦明矣。
《历象图说旧本》月道交周图

月道交周图说

月道斜交黄道，交初，入黄道北；至交半，纬度极大，乃向黄道行至交中；出黄道南极，于交半纬度又最大，又向黄道行至交初，而一周。每周退天之度，为交差。○黄钟历议云今书传官本，有图为圜规者，九而重叠相错。先儒所传九道，盖如此。以理究之，月道如今缠线于弹丸上，线道虽重，然止一缕，往来未尝断绝。果如九规，则断而不相属，此可见九行之说非也。每一交之终，退天一度馀，凡二百四十九交有奇，退天一周。终而复始。故旧历所谓九道，元人一之名曰白道○郑世子以月道出入黄道之差，譬黄道交于赤道之差。其说已当。然以今历之理揆之，则月道之交差者，月退也。黄道之交差者，恒星进也。而日度不移，此其所异也。月之为体最近，其行度最著。故推日星之理者，自月始，由其交周，可知天日之有岁差矣。由其迟疾，可知日星之有盈缩矣。由其月孛之行，可知日最高之有移度矣。由其倍离合日，而又有迟疾加减之分，可知五星之有岁轮矣。
太阴次轮图

太阴次轮图说

五星皆以次轮心行于本轮之周，月则以次轮最近点行于本轮之周。朔望起最近，每本轮心离日一度，则次轮最近，行于本轮周，亦一度。而月在次轮，则行两度。朔望至弦离日九十度，而月行次轮一百八十度，至最远。弦至朔望亦行一百八十度，复至最近。故一月行两周。〈所以知者，高卑视径迟疾视行皆至两弦，则其差倍增，而朔望则平也〉
太阴高卑四限图

太阴高卑四限图说

本轮最高，又遇次轮最远，为极高。本轮最高，遇次轮最近，为次高。本轮最卑，遇次轮最近，为次卑。本轮最卑，又遇次轮最远，为极卑。高则去地远，视径小。卑则去地近，视径大。
<h3 id="太阴迟疾大差图〈亦分四限〉" style="text-align: center">太阴迟疾大差图〈亦分四限〉

太阴迟疾大差图说

自本轮最高行，满朒初九十度，至留际迟，积度五度奇。自最卑行，满脁初九十度，至留际疾，积度亦五度奇。是为本轮上迟疾大差，朔望用之。若本轮行至留际，又遇次轮之最远，则其迟疾各得七度四十分，以为大差，两弦用之。是为迟疾大差之四限。
闇虚蚀限图

闇虚蚀限图说

闇虚径大于月约将三倍。又各以去日远近为大小。正当交道，则蚀有五限。〈月东轮切闇虚，西轮为初亏。西轮齐为食既。中径齐为食甚。东轮齐为生光。月西轮切闇虚，东轮为复圆〉偏而蚀于阴阳者，分三限。〈初亏、食甚、复圆〉起复方位，与日蚀反。〈日迟而月来掩之，故起于西。闇虚迟而月来就掩，故起于东〉纬度多，则蚀分少。纬度少，则蚀分多。○古人指日中之暗为闇虚。鲍云龙《天原发微》比于离坎中之阴阳，宋濂谓月蚀为地影之所隔。魏文魁作历测疑其说出于西域，然南齐书已言之，且汉张衡亦曰当日之冲光，常不合者，蔽于地也。是谓闇虚斯言甚明。独以为在星，星微与今说异，月近地星远，地日照地成影，闇虚有尽，不能及星也。
里差时刻图

里差时刻图说

北极高下殊，而地有南北之纬差。时刻早晚异，而地有东西之经差。测经差时刻者，用月蚀。月蚀普天同见，而见之者，西方觉早，东方觉迟，知相距几何里，即差几何刻，则推之四表，莫不皆然。盖东之午，南视为卯，南之午，西视为卯，而东巳视为酉西之午，南视为酉，而东必以为子。各据日轮。南照为午，而在左、在右，初不知时刻之潜移也。○《尧典》分宅四方，《周官》以日南、日北、日东、日西参互测验，诚历象之至要。后世率就，一隅立法，故用之他方，隔阂难通也。耶律楚材创里差法，郭守敬废而不用，虽分道测候，而所定授时，仅可行于大都。元统强以用之江南，止改其昼夜刻，疏谬已甚。其后都北平台官一守元统之旧，又袭南方之晷漏，而不知变历象之难明也。如此。